לומדי

קדם אנליזה

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! החלזון שלי איטי, אבל תחשבו רגע הפוך: אם הייתי מהיר מאוד (המספר "f" גדול), אז הזמן שלוקח לי לעבור מטר (המספר "g" - ההופכי) היה קצר מאוד. וכשאני מאט (f קטן), הזמן שלוקח לי דווקא גדל (g גדל). זו בדיוק התובנה של הפרק הזה: g=1/f "מתהפכת" ביחס ל-f - כשf עולה, g יורדת, וכשל-f יש שיא (מקסימום), ל-g יש דווקא שפל (מינימום) באותה נקודה. אין כאן שום נגזרת - רק היגיון של "הפיכת מספרים". תנסו לחשוב על זה במונחים של מהירות וזמן, וזה תמיד יסתדר.

הפונקציה g(x) = 1/f(x) — למה בלי נגזרת?

בפרק הזה לומדים לחקור פונקציה מהצורה g(x) = 1/f(x), כאשר f(x) הוא פולינום ממעלה שנייה לכל היותר (למשל f(x)=x²-4, או אפילו f(x)=x-3) — אבל בלי להשתמש בכלים של החשבון הדיפרנציאלי בכלל. המושג של נגזרת מחכה לפרק הבא. כאן המטרה שונה: ללמוד להסיק את כל התכונות של g ישירות מהתכונות הכבר-מוכרות של f, רק דרך ההיגיון של "מה קורה כשהופכים מספר". זו בדיוק ההכנה (קדם אנליזה) לחקירת פונקציות בעזרת נגזרת, שתגיע מייד אחר כך.

תחום הגדרה ואסימפטוטות מאונכות

g(x)=1/f(x) לא מוגדרת בדיוק במקומות שבהם f(x)=0 — כי אי אפשר לחלק באפס. לכן תחום ההגדרה של g הוא כל x פרט לשורשים של f, ובכל נקודה כזו יש ל-g אסימפטוטה מאונכת (אנכית) לציר ה-x. לדוגמה, אם f(x)=x²-4 (שורשיו 2 ו-2-), אז g(x)=1/(x²-4) אינה מוגדרת ב-x=2 וב-x=-2, ושם יש שתי אסימפטוטות מאונכות. בנוסף, ככל ש-x מתרחק לאינסוף (לכיוון ∞+ או ∞-), הערך של f(x) גדל בערכו המוחלט, ולכן הערך של g(x)=1/f(x) מתקרב ל-0 — באופן אינטואיטיבי בלבד, בלי להוכיח את זה פורמלית.

סימן, עלייה וירידה — ההיגיון של "הפיכת" פונקציה

לסימן של g יש קשר פשוט לסימן של f: 1 חלקי מספר חיובי הוא חיובי, ו-1 חלקי מספר שלילי הוא שלילי. לכן g(x) חיובית בדיוק היכן ש-f(x) חיובית, ושלילית בדיוק היכן ש-f(x) שלילית — לg ולf תמיד אותו סימן. לעלייה וירידה יש קשר הפוך: כשמספר חיובי גדל, ההופכי שלו קטן (למשל 1/2 < 1/5 למרות ש-2<5); וכשמספר שלילי קטן (יורד), ההופכי שלו גדל. במילים אחרות: בכל תחום שבו f עולה, g יורדת; ובכל תחום שבו f יורדת, g עולה — התנהגות הפוכה, בכל תחום שבו f לא מתאפסת.

נקודות קיצון: מקסימום של f הופך למינימום של g

מכיוון שהעלייה והירידה מתהפכות, גם נקודות הקיצון מתהפכות: במקום שבו ל-f יש מקסימום (ו-f שם שונה מאפס), ל-g יש מינימום — ולהפך, במקום שבו ל-f יש מינימום, ל-g יש מקסימום. זה נובע ישירות מהכלל של עלייה/ירידה הפוכה: אם f עוברת ממקסימום (עלייה ואז ירידה), אז g עוברת ממינימום (ירידה ואז עלייה) באותה נקודת x בדיוק.

טרנספורמציות של g(x) = 1/f(x)

בדיוק כמו כל פונקציה אחרת, אפשר להזיז ולשקף את g: הזזה אופקית נותנת g(x)=1/f(x-p) (עם p חיובי או שלילי); הזזה אנכית נותנת y=1/f(x)+k; שיקוף ביחס לציר ה-x נותן y=-1/f(x); שיקוף ביחס לציר ה-y נותן y=1/f(-x); מתיחה/כיווץ נותנים y=a/f(x); ואפשר גם לשלב כמה טרנספורמציות יחד: g(x)=a/f(x-p)+k. כל אלה עובדים בדיוק לפי אותם כללי טרנספורמציה שכבר הכרתם מפונקציות אחרות.

דוגמאות פתורות

נתונה f(x)=x²-4, ו-g(x)=1/f(x)=1/(x²-4). מצאו את תחום ההגדרה, האסימפטוטות המאונכות, תחומי הסימן, ותחומי העלייה והירידה של g, וזהו את נקודת הקיצון שלה.

  1. שורשי f: x²-4=0 → x=2 או x=-2. לכן תחום ההגדרה של g הוא כל x פרט ל-2- ול-2, ושם יש שתי אסימפטוטות מאונכות: x=2, x=-2.
  2. סימן f: זהו פרבולה פותחת למעלה עם שורשים ב--2,2, כך ש-f(x)>0 עבור x<-2 או x>2, ו-f(x)<0 עבור -2<x<2. ל-g יש בדיוק אותו סימן כמו ל-f.
  3. עלייה וירידה: f (פרבולה עם קודקוד ב-x=0) יורדת עבור x<0 ועולה עבור x>0. לכן g עולה בכל תחום שבו f יורדת: x<-2 וגם -2<x<0. ו-g יורדת בכל תחום שבו f עולה: 0<x<2 וגם x>2.
  4. נקודת קיצון: ל-f יש מינימום ב-x=0 (הקודקוד), f(0)=-4≠0. לכן ל-g יש מקסימום באותה נקודה: g(0)=1/(0²-4)=1/(-4)=-1/4.

תשובה: תחום ההגדרה: x≠2, x≠-2. אסימפטוטות מאונכות ב-x=2 וב-x=-2. g חיובית עבור |x|>2 ושלילית עבור -2<x<2. g עולה עבור x<-2 ועבור -2<x<0, ויורדת עבור 0<x<2 ועבור x>2. יש ל-g מקסימום בנקודה (0,-1/4).

נתונה f(x)=x². תארו את g(x)=1/x², ולאחר מכן את h(x)=1/(x-1)²+2 — איזו טרנספורמציה מתארת את המעבר מ-g ל-h?

  1. g(x)=1/x² מוגדרת לכל x≠0, תמיד חיובית (כי x² תמיד חיובי כש-x≠0), עם אסימפטוטה מאונכת ב-x=0, ומתקרבת ל-0 ככל ש-x מתרחק לאינסוף.
  2. h(x)=1/(x-1)²+2 מתקבלת מ-g על ידי הזזה אופקית ימינה ב-1 יחידה (p=1) והזזה אנכית למעלה ב-2 יחידות (k=2): h(x)=g(x-1)+2.
  3. לכן תחום ההגדרה של h הוא x≠1, עם אסימפטוטה מאונכת ב-x=1.
  4. מכיוון ש-1/(x-1)² תמיד חיובי (וקרוב ל-0 עבור x רחוק), הערכים של h תמיד גדולים מ-2 ומתקרבים ל-2 (מלמעלה) ככל ש-x מתרחק לאינסוף — כלומר h(x)>2 תמיד, ולעולם לא שווה בדיוק ל-2.

תשובה: h מתקבלת מ-g על ידי הזזה ימינה ב-1 ולמעלה ב-2. תחום ההגדרה: x≠1, אסימפטוטה מאונכת ב-x=1, וכל ערכי h גדולים מ-2 (ומתקרבים אליו, בלי להגיע).

תרגול

1. נתונה f(x)=x-3, ו-g(x)=1/f(x). מצאו את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטה המאונכת של g.תרגול
  1. f(x)=0 כאשר x=3, ושם g לא מוגדרת.

תשובה: תחום ההגדרה: x≠3. אסימפטוטה מאונכת ב-x=3.

2. נתונה g(x)=1/x². מהו סימנה של g עבור כל x בתחום ההגדרה שלה? הסבירו.תרגול
  1. x² חיובי תמיד עבור x≠0 (ריבוע של מספר שונה מאפס תמיד חיובי), ולכן 1/x² חיובי תמיד.

תשובה: g(x)>0 לכל x≠0 — g חיובית בכל תחום ההגדרה שלה.

3. כתבו את הפונקציה המתקבלת מ-g(x)=1/f(x) לאחר הזזה 2 יחידות ימינה ו-3 יחידות למטה.תרגול
  1. הזזה ימינה ב-p=2 נותנת 1/f(x-2). הזזה למטה ב-3 נותנת עוד -3.

תשובה: הפונקציה החדשה: y = 1/f(x-2) - 3.

4. כתבו את הפונקציה המתקבלת מ-y=1/f(x) על ידי שיקוף ביחס לציר ה-y.תרגול
  1. שיקוף ביחס לציר ה-y מחליף x ב--x בתוך f.

תשובה: הפונקציה החדשה: y = 1/f(-x).

5. נתונה f(x)=x²-9, ו-g(x)=1/f(x). מצאו את תחום ההגדרה, האסימפטוטות המאונכות, תחומי הסימן, ואת נקודת הקיצון הפנימית של g.שאלה בהקשר
  1. שורשי f: x=3, x=-3. תחום ההגדרה: x≠3,-3, עם אסימפטוטות מאונכות שם.
  2. f(x)>0 עבור |x|>3, f(x)<0 עבור -3<x<3 — ול-g אותו סימן.
  3. f (פרבולה עם קודקוד ב-x=0) יורדת עבור x<0 ועולה עבור x>0, ולכן g עולה עבור x<-3 ועבור -3<x<0, ויורדת עבור 0<x<3 ועבור x>3.
  4. ל-f מינימום ב-x=0, f(0)=-9. לכן ל-g מקסימום שם: g(0)=1/(-9)=-1/9.

תשובה: תחום ההגדרה: x≠±3, אסימפטוטות מאונכות ב-x=3,-3. g חיובית עבור |x|>3, שלילית עבור -3<x<3. עולה עבור x<-3 ו--3<x<0, יורדת עבור 0<x<3 ו-x>3. מקסימום בנקודה (0,-1/9).

6. נתונה h(x)=1/(x+1)²-2 (הזזה של 1/x² שמאלה ב-1 ולמטה ב-2). מצאו את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטה המאונכת, ותארו מה קורה ל-h ככל ש-x מתרחק לאינסוף.שאלה בהקשר
  1. h לא מוגדרת כאשר x+1=0, כלומר x=-1.
  2. 1/(x+1)² תמיד חיובי (וקרוב ל-0 עבור x רחוק מ--1), ולכן h(x) תמיד גדול מ-2-, ומתקרב ל-2- (מלמעלה) ככל ש-x מתרחק לאינסוף.

תשובה: תחום ההגדרה: x≠-1, אסימפטוטה מאונכת ב-x=-1. h(x)>-2 תמיד, ומתקרב ל-2- ככל ש-x רחוק.

לזכירה

  • g(x)=1/f(x), עם f פולינום ממעלה שנייה לכל היותר — חוקרים אותה בלי כלים של חדו"א, רק דרך התכונות של f.
  • תחום ההגדרה של g הוא כל x פרט לשורשי f, ובכל שורש כזה יש ל-g אסימפטוטה מאונכת.
  • לg ולf תמיד אותו סימן (1 חלקי חיובי הוא חיובי, 1 חלקי שלילי הוא שלילי).
  • עלייה וירידה מתהפכות: איפה ש-f עולה, g יורדת; איפה ש-f יורדת, g עולה.
  • נקודות קיצון מתהפכות: מקסימום של f (כשf≠0 שם) הופך למינימום של g באותה נקודה, ולהפך.
  • ככל ש-x מתרחק לאינסוף, g מתקרבת ל-0 (באופן אינטואיטיבי).
  • טרנספורמציות: הזזה אופקית 1/f(x-p), הזזה אנכית 1/f(x)+k, שיקופים -1/f(x) ו-1/f(-x), מתיחה/כיווץ a/f(x), ושילובים שלהם a/f(x-p)+k.
הבאחשבון דיפרנציאלי של פונקציה רציונלית ופונקציית שורש