לומדי

הסתברות

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! הסתברות מותנית זו בעצם שאלה מאוד יומיומית: 'עכשיו שאני כבר יודע/ת משהו - מה ההסתברות שקורה עוד משהו?'. למשל, אם אני יודע/ת שהיום מעונן, ההסתברות לגשם היא כנראה שונה מההסתברות לגשם 'באופן כללי'. את זה בדיוק תופסת הנוסחה P(A/B)=P(A∩B)/P(B). ולגבי אי-תלות - הטיפ הכי חשוב שיש לי בשבילכם הוא: אף פעם אל תנחשו! אי-תלות היא לא תחושת בטן, היא עובדה שצריך לבדוק בחישוב מדויק - P(A∩B) שווה בדיוק ל-P(A) כפול P(B)? רק אז זה באמת בלתי תלוי. ולכל בעיה רב-שלבית - כשמתבלבלים, פשוט ציירו עץ הסתברות. זה הכלי הכי אמין שיש.

מרחב מדגם, מאורעות, וחוקי ההסתברות הבסיסיים

מרחב המדגם Ω הוא קבוצת כל התוצאות האפשריות של ניסוי מקרי, ומאורע הוא תת-קבוצה של מרחב המדגם. ההסתברות של כל מאורע A מקיימת תמיד 0≤P(A)≤1, ההסתברות של מרחב המדגם כולו היא P(Ω)=1 (בוודאות משהו קורה), וההסתברות של המאורע הבלתי אפשרי היא P(∅)=0. אם A⊆B (כל תוצאה של A היא גם תוצאה של B) אז P(A)≤P(B). הסתברות המאורע המשלים (A בר, 'לא A') מקיימת P(A בר)=1-P(A) - זהו כלי שימושי מאוד כשקל יותר לחשב את ההסתברות ש'המאורע לא קורה' מאשר את ההסתברות שהוא כן קורה.

הסתברות של איחוד מאורעות

עבור שני מאורעות A ו-B כלשהם (לא בהכרח זרים), מתקיים כלל האיחוד הכללי: P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) - מחסירים את החיתוך כדי לא לספור אותו פעמיים. אם A ו-B זרים (אינם יכולים לקרות בו-זמנית, כלומר P(A∩B)=0), הנוסחה מתפשטת ל-P(A∪B)=P(A)+P(B). באופן כללי יותר, עבור n מאורעות זרים בזוגות A1,...,An מתקיים P(A1∪A2∪...∪An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An).

הסתברות מותנית

ההסתברות המותנית P(A/B) ('ההסתברות של A בהינתן שקרה B') מוגדרת (עבור P(B)>0) כ- P(A/B)=P(A∩B)/P(B). אינטואיטיבית, ברגע שאנו יודעים ש-B קרה, מרחב המדגם 'מצטמצם' ל-B בלבד, ואנחנו בודקים איזה חלק מ-B מהווה גם A. כלי חשוב לחישוב הסתברויות מותנות בבעיות רב-שלביות (כמו הגרלה של כמה חפצים בזה אחר זה) הוא עץ ההסתברות - כל ענף מייצג תוצאה אפשרית בשלב מסוים, וההסתברות של מסלול מסוים בעץ (מההתחלה ועד לענף מבוקש) מחושבת על ידי הכפלת ההסתברויות לאורך הענפים שבמסלול.

מאורעות תלויים ובלתי תלויים

שני מאורעות A ו-B נקראים בלתי תלויים אם הידיעה שאחד מהם קרה אינה משנה את ההסתברות שהשני יקרה - פורמלית, A ו-B בלתי תלויים אם ורק אם P(A/B)=P(A) (וכן, באופן שקול, P(B/A)=P(B)). מתוך הגדרת ההסתברות המותנית נובע מבחן שקול ונוח יותר לחישוב: A ו-B בלתי תלויים אם ורק אם P(A∩B)=P(A)·P(B) - זהו כלל הכפל להסתברות של מאורעות בלתי תלויים. חשוב להדגיש: אי-תלות אינה עובדה אינטואיטיבית שקובעים 'על העין' - יש לבדוק אותה תמיד באמצעות החישוב הזה, ולפעמים התוצאה מפתיעה.

כלים להצגת בעיות הסתברות

מלבד עץ ההסתברות (השימושי במיוחד לבעיות רב-שלביות), כלים נוספים ומקובלים להצגת בעיות הסתברות הם טבלה דו-ממדית (המציגה בו-זמנית שני מיונים שונים של אוכלוסייה, כגון מגדר וגישה מועדפת, ומאפשרת לקרוא ישירות הסתברויות של חיתוכים, שוליים, והסתברויות מותנות), ודיאגרמת ון (venn) - המציגה גרפית את מרחב המדגם ואת המאורעות השונים בתוכו כעיגולים, ומדגישה חזותית חיתוכים ואיחודים.

דוגמאות פתורות

בכיתה של 30 תלמידים, 18 לומדים מתמטיקה 5 יח"ל, 15 לומדים פיזיקה מוגברת, ו-8 לומדים את שתיהן. מצאו את ההסתברות שתלמיד/ה שנבחר/ה באקראי לומד/ת לפחות אחד מהמקצועות, ואת ההסתברות שאינו/ה לומד/ת אף אחד משניהם.

  1. מגדירים A='לומד מתמטיקה 5 יח"ל', B='לומד פיזיקה מוגברת'. נתון: P(A)=18/30, P(B)=15/30, P(A∩B)=8/30.
  2. משתמשים בכלל האיחוד הכללי: P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=18/30+15/30-8/30=25/30=5/6.
  3. ההסתברות שלא לומד/ת אף אחד מהם היא ההסתברות של המאורע המשלים לאיחוד: P(לא A ולא B)=1-P(A∪B)=1-5/6=1/6.

תשובה: ההסתברות שלומד/ת לפחות מקצוע אחד היא 5/6, וההסתברות שלא לומד/ת אף אחד מהם היא 1/6.

בקופסה יש 5 כדורים אדומים ו-3 כדורים כחולים. שולפים שני כדורים בזה אחר זה בלי החזרה. מצאו את ההסתברות שהכדור השני יהיה אדום, בהינתן שהכדור הראשון היה אדום, ואת ההסתברות ששני הכדורים אדומים.

  1. ההסתברות שהכדור הראשון אדום: P(ראשון אדום)=5/8.
  2. אם הכדור הראשון היה אדום ולא הוחזר, נשארו בקופסה 4 כדורים אדומים מתוך 7 כדורים בסך הכול: P(שני אדום/ראשון אדום)=4/7.
  3. ההסתברות ששני הכדורים אדומים היא מכפלת ההסתברויות לאורך מסלול העץ: P(שני אדומים)=P(ראשון אדום)·P(שני אדום/ראשון אדום)=(5/8)·(4/7)=20/56=5/14.

תשובה: P(שני אדום/ראשון אדום)=4/7, וההסתברות ששני הכדורים אדומים היא 5/14.

מטילים קובייה הוגנת פעם אחת. יהי A המאורע 'התוצאה זוגית' (2,4,6), ו-B המאורע 'התוצאה גדולה מ-4' (5,6). בדקו אם A ו-B בלתי תלויים.

  1. מחשבים את ההסתברויות הבודדות: P(A)=3/6=1/2 (יש 3 תוצאות זוגיות מתוך 6). P(B)=2/6=1/3 (יש 2 תוצאות גדולות מ-4).
  2. מוצאים את החיתוך: A∩B='זוגי וגם גדול מ-4' = {6} (רק 6 מקיים את שני התנאים), ולכן P(A∩B)=1/6.
  3. בודקים את מבחן אי-התלות: P(A)·P(B)=(1/2)·(1/3)=1/6.
  4. מכיוון ש-P(A∩B)=1/6 שווה בדיוק ל-P(A)·P(B)=1/6, המאורעות אכן בלתי תלויים.

תשובה: כן, A ו-B בלתי תלויים - מכיוון ש-P(A∩B)=P(A)·P(B)=1/6.

תרגול

1. נתון P(A)=0.6, P(B)=0.5, P(A∩B)=0.3. מצאו את P(A∪B), ואת ההסתברות שאף אחד מהמאורעות לא קורה.תרגול
  1. משתמשים בכלל האיחוד: P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.6+0.5-0.3=0.8.
  2. ההסתברות שאף מאורע לא קורה היא המשלים לאיחוד: 1-P(A∪B)=1-0.8=0.2.

תשובה: P(A∪B)=0.8, וההסתברות שאף מאורע לא קורה היא 0.2.

2. שולפים קלף אחד מחפיסת 52 קלפים רגילה. יהי A המאורע 'הקלף הוא לב' (13 קלפים), ו-B המאורע 'הקלף הוא מלך' (4 קלפים, אחד מכל צורה). בדקו אם A ו-B בלתי תלויים.תרגול
  1. P(A)=13/52=1/4. P(B)=4/52=1/13.
  2. A∩B הוא המאורע 'מלך לבבות' - קלף יחיד, ולכן P(A∩B)=1/52.
  3. בודקים: P(A)·P(B)=(1/4)·(1/13)=1/52.
  4. מכיוון ש-P(A∩B)=1/52=P(A)·P(B), המאורעות בלתי תלויים.

תשובה: כן, A ו-B בלתי תלויים.

3. נתון P(A)=0.4 ו-P(A∩B)=0.12. מצאו את P(B/A).תרגול
  1. משתמשים בנוסחת ההסתברות המותנית: P(B/A)=P(A∩B)/P(A)=0.12/0.4.

תשובה: P(B/A)=0.3.

4. בכיס יש כדורים בשלושה צבעים בלבד: אדום, כחול וירוק. ידוע כי P(אדום)=0.3 ו-P(כחול)=0.45. מהי ההסתברות שהכדור שיישלף באקראי יהיה ירוק? האם המאורעות 'אדום' ו'כחול' זרים (יכולים להתקיים בו-זמנית עבור אותו כדור)? נמקו בקצרה.תרגול
  1. מכיוון שיש רק שלושה צבעים אפשריים וכל כדור הוא בדיוק בצבע אחד, סכום כל ההסתברויות חייב להיות 1: P(אדום)+P(כחול)+P(ירוק)=1.
  2. מציבים: 0.3+0.45+P(ירוק)=1, ולכן P(ירוק)=1-0.75=0.25.
  3. כן, 'אדום' ו'כחול' הם מאורעות זרים - כדור בודד לא יכול להיות גם אדום וגם כחול בו-זמנית (הצבעים מוגדרים כקטגוריות בלעדיות), ולכן P(אדום∩כחול)=0.

תשובה: P(ירוק)=0.25. המאורעות 'אדום' ו'כחול' זרים, כי כדור אינו יכול להיות בשני הצבעים בו-זמנית.

5. מטילים שתי קוביות הוגנות. מצאו את ההסתברות שסכום התוצאות יהיה 7.שאלה בהקשר
  1. מרחב המדגם כולל 36 תוצאות אפשריות (6 אפשרויות לקובייה הראשונה כפול 6 לשנייה).
  2. רושמים את כל הזוגות שסכומם 7: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) - סך הכול 6 תוצאות.
  3. ההסתברות: 6/36=1/6.

תשובה: ההסתברות שסכום התוצאות יהיה 7 היא 1/6.

6. במפעל יש שתי מכונות. מכונה A מייצרת 60% מכלל המוצרים, ומכונה B מייצרת את שאר ה-40%. שיעור הפגמים במוצרי מכונה A הוא 5%, ובמוצרי מכונה B הוא 8%. א. מצאו את ההסתברות שמוצר שנבחר באקראי יהיה פגום (השתמשו בעץ הסתברות עם שני שלבים). ב. בהינתן שהמוצר שנבחר פגום, מהי ההסתברות שהוא יוצר במכונה A?שאלה בהקשר
  1. א. בונים עץ הסתברות דו-שלבי: השלב הראשון - איזו מכונה ייצרה את המוצר (P(A)=0.6, P(B)=0.4); השלב השני - האם המוצר פגום, בהתאם למכונה.
  2. מסלול 'A ואז פגום': P(A)·P(פגום/A)=0.6·0.05=0.03. מסלול 'B ואז פגום': P(B)·P(פגום/B)=0.4·0.08=0.032.
  3. ההסתברות הכוללת שמוצר פגום היא סכום שני המסלולים (הם זרים): P(פגום)=0.03+0.032=0.062.
  4. ב. משתמשים בנוסחת ההסתברות המותנית עם התפקידים הפוכים: P(A/פגום)=P(A∩פגום)/P(פגום)=0.03/0.062.

תשובה: א. ההסתברות שמוצר יהיה פגום היא 0.062. ב. ההסתברות שמוצר פגום יוצר במכונה A היא 0.03/0.062=15/31, כלומר בקירוב כ-0.484 (כ-48.4%).

7. בסקר בקרב 200 אנשים: 120 הם גברים ו-80 הן נשים. מבין הגברים, 45 אוהבים ספורט; מבין הנשים, 30 אוהבות ספורט. א. מהי ההסתברות שאדם שנבחר באקראי אוהב ספורט? ב. בהינתן שהאדם שנבחר אוהב ספורט, מהי ההסתברות שהוא גבר? ג. בדקו אם המאורעות 'גבר' ו'אוהב ספורט' בלתי תלויים.שאלה בהקשר
  1. א. סך כל האנשים שאוהבים ספורט: 45 (גברים)+30 (נשים)=75. P(אוהב ספורט)=75/200=0.375.
  2. ב. P(גבר/אוהב ספורט)=P(גבר וגם אוהב ספורט)/P(אוהב ספורט)=(45/200)/(75/200)=45/75=0.6.
  3. ג. P(גבר)=120/200=0.6. בודקים את מבחן אי-התלות: P(גבר)·P(אוהב ספורט)=0.6·0.375=0.225. לעומת זאת P(גבר∩אוהב ספורט)=45/200=0.225. מכיוון שהערכים שווים, המאורעות בלתי תלויים.

תשובה: א. 0.375. ב. 0.6. ג. כן, המאורעות בלתי תלויים (P(גבר∩אוהב ספורט)=0.225=P(גבר)·P(אוהב ספורט)).

לזכירה

  • חוקי יסוד: 0≤P(A)≤1, P(Ω)=1, P(∅)=0, ואם A⊆B אז P(A)≤P(B). הסתברות המאורע המשלים: P(A בר)=1-P(A).
  • כלל האיחוד הכללי: P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). עבור מאורעות זרים: P(A∪B)=P(A)+P(B).
  • הסתברות מותנית: P(A/B)=P(A∩B)/P(B) (עבור P(B)>0) - ההסתברות של A בהינתן שכבר ידוע שקרה B.
  • מאורעות A ו-B בלתי תלויים אם ורק אם P(A/B)=P(A), ובאופן שקול אם ורק אם P(A∩B)=P(A)·P(B) - יש לבדוק זאת תמיד בחישוב, לא להניח אותו אינטואיטיבית.
  • כלים מרכזיים לפתרון בעיות: עץ הסתברות (מכפילים לאורך מסלול, מחברים בין מסלולים זרים) - שימושי במיוחד בבעיות רב-שלביות; טבלה דו-ממדית; ודיאגרמת ון.
הקודםחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות טריגונומטריות