גאומטריה אנליטית
מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.
לומדי מסביר
היי, אני לומדי! משוואת מעגל היא פשוט משפט פיתגורס שכתוב אחרת: כל נקודה (x,y) על המעגל נמצאת במרחק R בדיוק מהמרכז, וזה בדיוק מה ש-(x-a)²+(y-b)²=R² אומר. וכשמחפשים משיק - תמיד תזכרו את הכלל הזהב: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. ברגע שיש לכם את שיפוע הרדיוס, פשוט הופכים אותו (הופכי ונגדי בסימן) ומקבלים את שיפוע המשיק - זהו!
משוואת מעגל - קנונית וכללית
משוואת מעגל היא הביטוי האלגברי של הגדרת המעגל כמקום גאומטרי (כל הנקודות במרחק R קבוע ממרכז). המשוואה הקנונית, למעגל שמרכזו בראשית הצירים: x²+y²=R². המשוואה הכללית, למעגל שמרכזו בנקודה (a,b): (x-a)²+(y-b)²=R².
המצב ההדדי בין מעגל וישר
כדי לקבוע האם ישר משיק, חותך, או לא נוגע כלל במעגל, יש שתי דרכים: הדרך הראשונה - משווים את מרחק מרכז המעגל מהישר לרדיוס: אם המרחק שווה לרדיוס, הישר משיק; אם המרחק קטן מהרדיוס, הישר חותך (סקנט); אם המרחק גדול מהרדיוס, הישר לא נוגע במעגל כלל. הדרך השנייה - פותרים את מערכת המשוואות של המעגל והישר יחד: פתרון יחיד אומר משיק, שני פתרונות אומרים חותך, ואין פתרון אומר שאין מגע.
משוואת המשיק למעגל בנקודה נתונה
כדי למצוא את משוואת המשיק למעגל בנקודה שעל המעגל, משתמשים בתנאי הניצבות: המשיק מאונך לרדיוס באותה נקודה. מוצאים את שיפוע הרדיוס (מהמרכז לנקודה), לוקחים את ההופכי-הנגדי שלו כשיפוע המשיק, ובונים את משוואת הישר דרך הנקודה הנתונה עם אותו שיפוע.
מעגל המשיק לצירים
כשמעגל משיק לציר אחד (נניח ציר ה-x), הרדיוס שלו שווה למרחק המרכז מאותו ציר - כלומר לערך המוחלט של קואורדינטת ה-y של המרכז. כשמעגל משיק לשני הצירים גם יחד, הרדיוס שווה גם למרחק מציר x וגם למרחק מציר y, כך שקואורדינטות המרכז שוות בערכן המוחלט לרדיוס.
דוגמאות פתורות
נתון המעגל x²+y²=25 והישר 3x+4y-25=0. קבעו את המצב ההדדי ביניהם, ואם יש מגע, מצאו את נקודתו.
- מרכז המעגל (0,0), רדיוס R=5. מרחק המרכז מהישר: |3·0+4·0-25|/√(3²+4²) = 25/5 = 5.
- המרחק (5) שווה לרדיוס (5), ולכן הישר משיק למעגל.
- לאימות, פותרים את המערכת: y=(25-3x)/4. מציבים במעגל: x²+[(25-3x)/4]²=25. מכפילים ב-16: 16x²+(25-3x)²=400.
- (25-3x)²=625-150x+9x², ולכן 25x²-150x+625=400, כלומר 25x²-150x+225=0. מחלקים ב-25: x²-6x+9=0, כלומר (x-3)²=0 - פתרון יחיד x=3, מאשר משיק.
- y=(25-9)/4=4.
תשובה: הישר משיק למעגל בנקודה (3,4).
מצאו את משוואת המשיק למעגל x²+y²=25 בנקודה (-3,4).
- (-3,4) על המעגל: (-3)²+4²=9+16=25 - מתאים.
- שיפוע הרדיוס ממרכז (0,0) לנקודה (-3,4): 4/(-3)=-4/3.
- שיפוע המשיק - הופכי ונגדי: 3/4.
- משוואת המשיק: y-4 = (3/4)(x-(-3)) = (3/4)(x+3), כלומר y = (3/4)x + 9/4 + 4 = (3/4)x + 25/4.
תשובה: משוואת המשיק: y = (3/4)x + 25/4 (או, בכתיבה שקולה: 3x-4y+25=0).
מעגל משיק לשני הצירים, נמצא ברביע הראשון, ומרכזו בנקודה (4,4). מצאו את משוואתו.
- מכיוון שהמעגל משיק לשני הצירים ומרכזו ברביע הראשון, הרדיוס שווה למרחק מכל אחד מהצירים - שתי הקואורדינטות של המרכז שוות לרדיוס.
- כאן קואורדינטות המרכז הן 4,4, ולכן R=4.
תשובה: (x-4)²+(y-4)²=16.
תרגול
1. כתבו את משוואת המעגל שמרכזו (1,-2) ורדיוסו 6.תרגול
- (x-a)²+(y-b)²=R² עם a=1, b=-2, R=6.
תשובה: (x-1)²+(y+2)²=36.
2. נתון המעגל (x+3)²+(y-5)²=49. מהם מרכזו ורדיוסו?תרגול
- משווים לצורה (x-a)²+(y-b)²=R²: a=-3, b=5, R=7.
תשובה: מרכז (-3,5), רדיוס 7.
3. קבעו את המצב ההדדי בין המעגל x²+y²=16 לישר x-y+10=0, באמצעות השוואת מרחק לרדיוס.תרגול
- מרכז (0,0), רדיוס 4. מרחק מהישר: |0-0+10|/√(1²+1²) = 10/√2 ≈ 7.07.
- המרחק (כ-7.07) גדול מהרדיוס (4).
תשובה: המרחק גדול מהרדיוס - הישר אינו נוגע במעגל כלל.
4. מעגל משיק לציר ה-x בלבד, ומרכזו בנקודה (5,3). מצאו את משוואתו.תרגול
- הרדיוס שווה למרחק המרכז מציר x, כלומר לקואורדינטת ה-y: R=3.
תשובה: (x-5)²+(y-3)²=9.
5. מצאו את משוואת המשיק למעגל x²+y²=169 בנקודה (5,12).שאלה בהקשר
- (5,12) על המעגל: 5²+12²=25+144=169 - מתאים.
- שיפוע הרדיוס: 12/5. שיפוע המשיק - הופכי ונגדי: -5/12.
- משוואת המשיק: y-12=(-5/12)(x-5). מכפילים ב-12: 12y-144=-5x+25, כלומר 5x+12y=169.
תשובה: 5x+12y=169.
6. מצאו את נקודות החיתוך של המעגל x²+y²=25 עם הישר y=x+1, בשיטת פתרון מערכת המשוואות.שאלה בהקשר
- מציבים: x²+(x+1)²=25 → x²+x²+2x+1=25 → 2x²+2x-24=0 → x²+x-12=0 → (x+4)(x-3)=0.
- x=-4 → y=-3. x=3 → y=4.
- בדיקה: (-4)²+(-3)²=16+9=25 ✓; 3²+4²=9+16=25 ✓.
תשובה: נקודות החיתוך: (-4,-3) ו-(3,4).
7. מצאו את משוואת המעגל שרדיוסו 5, משיק לשני הצירים, ונמצא ברביע הראשון.שאלה בהקשר
- מעגל ברביע הראשון המשיק לשני הצירים - מרכזו (R,R).
תשובה: (x-5)²+(y-5)²=25.
לזכירה
- משוואת מעגל קנונית (מרכז בראשית): x²+y²=R². משוואה כללית (מרכז (a,b)): (x-a)²+(y-b)²=R².
- המצב ההדדי בין מעגל וישר: משווים מרחק המרכז מהישר לרדיוס (שווה=משיק, קטן=חותך, גדול=אין מגע), או פותרים מערכת משוואות (פתרון יחיד=משיק, שניים=חותך, אין=אין מגע).
- משוואת משיק בנקודה נתונה: שיפוע המשיק הוא ההופכי-הנגדי לשיפוע הרדיוס לאותה נקודה (תנאי ניצבות).
- מעגל משיק לציר אחד - רדיוס שווה למרחק המרכז מאותו ציר. משיק לשני הצירים - שתי קואורדינטות המרכז שוות בערכן המוחלט לרדיוס.