לומדי

חשבון דיפרנציאלי של פונקציה רציונלית ופונקציית שורש

מבוסס על תוכנית הלימודים הרשמית — מתמטיקה, משרד החינוך.

לומדי מסביר

היי, אני לומדי! החלק הזה נשען על שני כלים שכבר הכרתם: כלל המנה (לפונקציות רציונליות) וכלל השרשרת (לשורשים). הטריק הגדול הוא לזכור שחקירת פונקציה כזו היא בדיוק אותו תהליך שכבר מכירים מכיתה י' - תחום הגדרה, נגזרת, סימן הנגזרת, נקודות קיצון, אסימפטוטות - רק שעכשיו יש לכם שני כללי גזירה חדשים בארגז הכלים. אני תמיד בודק תחום הגדרה קודם כל, לפני שאני בכלל נוגע בנגזרת - כי אין טעם לחקור התנהגות בנקודה שהפונקציה אפילו לא מוגדרת בה!

שתי משפחות פונקציות חדשות

עכשיו, עם כלי הנגזרת, חוקרים שתי משפחות פונקציות: פונקציות רציונליות y=f(x)/g(x) (וסכום/הפרש שלהן עם פולינומים), ופונקציות שורש y=g(x)·√f(x) — בשני המקרים f(x) ו-g(x) הם פולינומים ממעלה שנייה לכל היותר. תחום ההגדרה נקבע בכל משפחה בנפרד: בפונקציה רציונלית - המכנה g(x) חייב להיות שונה מאפס; בפונקציית שורש - הביטוי מתחת לשורש, f(x), חייב להיות גדול או שווה לאפס.

כלל המנה וכלל השורש לגזירה

לגזירת מנה y=f(x)/g(x) משתמשים בכלל המנה: y′ = [f′(x)·g(x) - f(x)·g′(x)] / [g(x)]². לגזירת שורש y=√f(x) משתמשים בכלל השרשרת: y′ = f′(x)/(2√f(x)). וכשיש מכפלה y=g(x)·√f(x), משתמשים בכלל המכפלה יחד עם כלל השרשרת: y′ = g′(x)·√f(x) + g(x)·f′(x)/(2√f(x)).

אסימפטוטות, משיק, וחיוביות ושליליות

בפונקציה רציונלית יש אסימפטוטה מאונכת (אנכית) בכל נקודה שבה המכנה מתאפס (ללא נקודות שבהן גם המונה מתאפס יחד איתו), וברמה אינטואיטיבית - כשx→∞± הפונקציה מתקרבת לערך קבוע, שנותן אסימפטוטה אופקית. משוואת המשיק בנקודה נמצאת כמו תמיד: שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת באותה נקודה, ואז y-y₀=m(x-x₀). לבדיקת חיוביות ושליליות (כולל פתרון אי-שוויונות מהסוג f(x)/g(x)≥0) משתמשים באותה שיטת סימנים שכבר מכירים - רק שעכשיו גם המכנה יכול לאפס את הביטוי (ולא רק המונה).

עלייה, ירידה, ונקודות קיצון - כולל בקצה התחום

בודקים עלייה וירידה לפי סימן הנגזרת, בדיוק כמו בכל חקירת פונקציה. חשוב: בפונקציות שורש, תחום ההגדרה לפעמים סגור וחסום (למשל -3≤x≤3), ואז יכולות להיות "נקודות קיצון בקצה תחום ההגדרה" - נקודות שבהן הפונקציה מקבלת את הערך הקיצוני שלה בדיוק בקצה התחום, ולא בגלל שהנגזרת מתאפסת שם (לרוב הנגזרת אפילו לא מוגדרת בקצה כזה).

זוגיות, אי-זוגיות, והקשר לנגזרת

בודקים זוגיות (f(-x)=f(x), סימטריה ביחס לציר ה-y) ואי-זוגיות (f(-x)=-f(x), סימטריה ביחס לראשית) גם באופן אלגברי (הצבה ישירה) וגם גרפית. חוקרים גם את הקשר בין הגרף של הפונקציה לגרף הנגזרת שלה: איפה שהפונקציה עולה, הנגזרת חיובית; איפה שיורדת, הנגזרת שלילית; ובנקודת קיצון פנימית, הנגזרת מתאפסת (ומחליפה סימן). בשאלות עם פרמטר, משתמשים בנתון (למשל נקודה על הגרף, או ערך שיפוע) כדי למצוא את ערך הפרמטר - תמיד פרמטר אחד בשאלה.

דוגמאות פתורות

חקרו את הפונקציה y=(x-1)/(x+2): תחום הגדרה, נגזרת, עלייה/ירידה, אסימפטוטות, נקודות חיתוך עם הצירים, ומשוואת המשיק בנקודה x=0.

  1. תחום הגדרה: המכנה x+2≠0, כלומר x≠-2. אסימפטוטה מאונכת ב-x=-2.
  2. נגזרת לפי כלל המנה: y′ = [1·(x+2) - (x-1)·1]/(x+2)² = [x+2-x+1]/(x+2)² = 3/(x+2)².
  3. המכנה (x+2)² תמיד חיובי (כש-x≠-2), והמונה 3 חיובי - ולכן y′>0 בכל תחום ההגדרה. הפונקציה עולה על כל קטע (x<-2 ועל x>-2), ואין לה נקודות קיצון (הנגזרת אף פעם לא מתאפסת).
  4. ככל ש-x גדול מאוד (בערכו המוחלט), (x-1)/(x+2) מתקרב ל-1 (המונה והמכנה כמעט שווים) - אסימפטוטה אופקית y=1.
  5. חיתוך עם ציר x: y=0 כאשר x-1=0, כלומר x=1. חיתוך עם ציר y: x=0 נותן y=(0-1)/(0+2)=-1/2.
  6. משוואת המשיק ב-x=0: השיפוע y′(0)=3/(0+2)²=3/4. נקודת ההשקה (0,-1/2). המשיק: y-(-1/2)=3/4·(x-0), כלומר y=3/4·x - 1/2.

תשובה: תחום הגדרה x≠-2, אסימפטוטה מאונכת x=-2, אסימפטוטה אופקית y=1. הפונקציה עולה תמיד (y′=3/(x+2)²>0), ללא נקודות קיצון. חותכת את ציר x ב-(1,0) ואת ציר y ב-(0,-1/2). המשיק ב-x=0: y=3/4·x - 1/2.

חקרו את y=√(9-x²): תחום הגדרה, נגזרת, נקודת קיצון פנימית, ונקודות קיצון בקצה התחום.

  1. תחום הגדרה: 9-x²≥0 → -3≤x≤3 (תחום סגור).
  2. נגזרת (כלל השרשרת עם f(x)=9-x², f′(x)=-2x): y′ = -2x/(2√(9-x²)) = -x/√(9-x²). מוגדרת רק בתחום הפתוח -3<x<3 (בקצוות המכנה מתאפס).
  3. y′=0 כאשר x=0. עבור x<0, y′>0 (עולה); עבור x>0, y′<0 (יורדת) - מעבר מעלייה לירידה, כלומר מקסימום פנימי: y(0)=√9=3.
  4. בקצוות התחום: y(-3)=√(9-9)=0, y(3)=√(9-9)=0. מכיוון שהפונקציה תמיד ≥0 בכל התחום (זהו חצי מעגל עליון), הערך 0 בקצוות הוא הערך הקטן ביותר האפשרי - נקודות קיצון (מינימום) בקצה תחום ההגדרה.

תשובה: תחום הגדרה [-3,3]. מקסימום פנימי בנקודה (0,3). מינימום בקצוות התחום: (-3,0) ו-(3,0). הגרף הוא חצי מעגל עליון ברדיוס 3.

בדקו האם הפונקציה y=x/(x²+1) זוגית, אי-זוגית, או אף אחת מהן - באופן אלגברי.

  1. תחום הגדרה: x²+1 אף פעם לא מתאפס (כי x²≥0 ולכן x²+1≥1), כלומר תחום ההגדרה הוא כל הממשיים.
  2. מציבים -x במקום x: y(-x) = (-x)/((-x)²+1) = -x/(x²+1).
  3. משווים ל--y(x): -y(x) = -[x/(x²+1)] = -x/(x²+1). זה בדיוק מה שקיבלנו ל-y(-x).

תשובה: y(-x)=-y(x) לכל x, ולכן הפונקציה אי-זוגית - הגרף שלה סימטרי ביחס לראשית הצירים.

תרגול

1. מצאו את הנגזרת של y=(2x+3)/(x-1) לפי כלל המנה.תרגול
  1. y′ = [2·(x-1) - (2x+3)·1]/(x-1)² = [2x-2-2x-3]/(x-1)² = -5/(x-1)².

תשובה: y′ = -5/(x-1)².

2. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה y=√(x²-9).תרגול
  1. צריך x²-9≥0, כלומר x²≥9.

תשובה: x≤-3 או x≥3.

3. מצאו את הנגזרת של y=x·√(x+2) לפי כלל המכפלה וכלל השרשרת.תרגול
  1. y′ = 1·√(x+2) + x·[1/(2√(x+2))] = √(x+2) + x/(2√(x+2)).
  2. מאחדים למכנה משותף: y′ = [2(x+2) + x] / (2√(x+2)) = (3x+4)/(2√(x+2)).

תשובה: y′ = (3x+4)/(2√(x+2)), בתחום x>-2.

4. פתרו את אי-השוויון (x-3)/(x+1) ≥ 0.תרגול
  1. נקודות קריטיות: x=3 (מאפסת את המונה, כלולה), x=-1 (מאפסת את המכנה, אסורה).
  2. בודקים סימן בכל תחום: x<-1 → חיובי (למשל x=-2: -5/-1=5>0); -1<x<3 → שלילי (למשל x=0: -3/1=-3<0); x>3 → חיובי (למשל x=4: 1/5>0).

תשובה: x<-1 או x≥3.

5. נתונה y=(x+1)/(x-3). מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה x=5.שאלה בהקשר
  1. y(5) = (5+1)/(5-3) = 6/2 = 3, כך שנקודת ההשקה היא (5,3).
  2. y′ = [1·(x-3) - (x+1)·1]/(x-3)² = [x-3-x-1]/(x-3)² = -4/(x-3)².
  3. y′(5) = -4/(5-3)² = -4/4 = -1.
  4. משוואת המשיק: y-3 = -1·(x-5), כלומר y = -x+8.

תשובה: משוואת המשיק: y = 8 - x.

6. חקרו את y=√(25-x²): מצאו את תחום ההגדרה, את נקודת הקיצון הפנימית, ואת נקודות הקיצון בקצה התחום.שאלה בהקשר
  1. תחום הגדרה: 25-x²≥0 → -5≤x≤5.
  2. y′ = -x/√(25-x²), מתאפסת ב-x=0. עבור x<0 עולה, עבור x>0 יורדת → מקסימום פנימי y(0)=√25=5.
  3. בקצוות: y(-5)=y(5)=0 - זהו הערך המינימלי (הפונקציה תמיד ≥0) - מינימום בקצה התחום.

תשובה: תחום ההגדרה [-5,5]. מקסימום פנימי ב-(0,5), מינימום בקצוות ב-(-5,0) וב-(5,0).

7. נתונה y=(x+a)/(x-2), כאשר a פרמטר. ידוע שהגרף עובר דרך הנקודה (0,-3). מצאו את a, וכתבו את האסימפטוטה המאונכת.שאלה בהקשר
  1. מציבים x=0, y=-3: -3 = (0+a)/(0-2) = a/(-2), כלומר -3 = -a/2, ולכן a=6.
  2. האסימפטוטה המאונכת נקבעת על ידי המכנה בלבד (x-2=0), ולא תלויה ב-a.

תשובה: a=6, והפונקציה y=(x+6)/(x-2). האסימפטוטה המאונכת: x=2.

לזכירה

  • שתי משפחות: y=f(x)/g(x) (רציונלית, כולל סכום/הפרש עם פולינום) ו-y=g(x)·√f(x) (שורש), כאשר f,g פולינומים ממעלה שנייה לכל היותר.
  • תחום הגדרה: במנה - המכנה שונה מאפס; בשורש - מה שמתחת לשורש גדול-שווה לאפס.
  • כלל המנה: [f/g]′ = (f′g - fg′)/g². כלל השורש (שרשרת): [√f]′ = f′/(2√f).
  • אסימפטוטה מאונכת בכל אפס של המכנה (שאינו גם אפס של המונה); אסימפטוטה אופקית מהתנהגות אינטואיטיבית כש-x→∞±.
  • משוואת משיק: שיפוע = ערך הנגזרת בנקודה, ואז y-y₀=m(x-x₀).
  • עלייה/ירידה לפי סימן הנגזרת; בתחום סגור יכולות להיות גם נקודות קיצון בקצה התחום, לא רק פנימיות.
  • זוגיות/אי-זוגיות נבדקות בהצבת -x: f(-x)=f(x) זוגית, f(-x)=-f(x) אי-זוגית.
הקודםקדם אנליזההבאשאלות ערך קיצון